Total Tayangan Laman

Selasa, 02 November 2010

FUNGSI LOGARITMA DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA

FUNGSI LOGARITMA
DAN GRAFIK FUNGSI LOGARITMA


A. Pengertian Logaritma
      Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan kebalikan atau invers dari eksponen atau pemangkatan.
Perhatikan hal berikut.
23 = 8
34 = 81
42 = 16
      Jika ruas kiri dipertukarkan tempatnya dengan ruas kanan dan sebaliknya menjadi:
  8 = 23 ;  81 =34  ; 16 = 42
  8 = 23  dapat ditulis sebagai  2log 8 = 3
81 = 34  dapat ditulis sebagai  3log 81 = 4
16 = 42  dapat ditulis sebagai  4log 16 = 2
(2log 8  dibaca “logaritma dari 8 dengan bilangan pokok 2”)
      Hal ini berarti mencari logaritma suatu bilangan positif  b  dengan bilangan pokok a sama dengan mencari pangkat dari b dalam bilangan pokok a tersebut.
Secara umum rumus dasar logaritma dapat ditulis:
                           alog b = c     b = ac
               a disebut bilangan pokok (basis) logaritma, a > 0 , a ≠ 1, a є R
               b disebut numerus, yaitu bilangan yang akan dicari logaritmanya, b > 0,      b є R
               c disebut hasil logaritma



B. Fungsi Logaritma
Apabila terdapat fungsi eksponen  f  yang memetakan bilangan real  x  ke  ax  (ditulis f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1), inversnya adalah fungsi logaritma  g  yang mengawankan bilangan real  x  ke  ªlog x (ditulis  g(x) =  ªlog x).
Misalkan diketahui fungsi  f(x) = 3x  dengan daerah asal (domain) Df  = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 }. Hubungan antara x dengan f(x) = 3x  dapat dilihat dalam tabel berikut.
Tabel 1
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
f(x) = 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27

Pada tabel terlihat adanya korespondensi satu-satu antara  x  dan f(x) = 3x. Sehingga dapat dikatakan bahwa fungsi eksponen f(x) = 3x  merupakan fungsi bijektif. Karena  f(x) = 3x merupakan fungsi bijektif, terdapat fungsi invers  f-1 yang memetakan setiap anggota {1/27, 1/9, 1/3, 1, 3, 9, 27} dengan tepat satu anggota {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3} seperti diperlihatkan pada tabel berikut.
Tabel 2
f(x)= 3x
1/27
1/9
1/3
1
3
9
27
g(x)
-3
-2
-1
0
1
2
3

Jika fungsi invers dari f(x) = 3x disebut fungsi g(x). Dengan demikian, g(x) dapat ditentukan sebagai berikut.
y = f(x) = 3x
log y =  x logx
log y =  x log 3
x =  log y
             log 3
x = ³log y
f-1 (y) = ³log y
f-1 (x) = ³log x
Jadi, invers dari f(x) = 3x adalah g(x) = f-1(x) = ³log x yang merupakan fungsi logaritma dengan bilangan pokok 3.
Berdasarkan uraian diatas, pengertian fungsi logaritma adalah suatu fungsi yang memetakan setiap  x  bilangan real dengan aturan g(x) = alog x,  x > 0, a > 0, a ≠ 1.
Contoh :
1.   Diketahui f(x) =     5log x        . Tentukan f(x) + f (5/x)
                                 1- 2 5log x
Penyelesaian:
f (5/x)   =      5log  5/x
               1- 2  5log  5/x
              
            =      5log 5 – 5log x
               1- 2 (5log 5 – 5log x)
                  =        1 -  5log x
                        1 - 2 (1 – 5log x)
                  =        1 – 5log x
                        1 – 2  +  2 5log x
                  =       1 – 5log x
                        -1  +  2 5log x
      f(x)  +  f(5/x)    =       5log  x           +      1 – 5log x
                              1- 2  5log  x         -1  +  2 5log x
                       
                        =        5log  x        _      1 + 5log x






 

                              1- 2  5log  x          1  -  2 5log x

                        =   -1  +  2 5log  x
1        -  2 5log x
                              =   _    1- 2  5log  x
                                          1- 2  5log  x
                              =  - 1
Dengan cara ringkas, dapat dikerjakan sebagai berikut. Karena pada fungsi logaritma berlaku  f (x/y) = f(x)  -  f(y),  maka  f(x) +  f(5/x) = f(x) + f(5) - f(x)= f(5).
Jadi,  f(x) +  f(5/x)  =  f(5)  =      5log 5       =     1      =     - 1
                                              1- 2  5log 5        1 – 2
2.   Diketahui f(x) =  4log (x2 -  8x  +  16). Tentukan titik potong kurva fungsi f dengan :  a. sumbu X                           b. sumbu Y
      Penyelesaian:
a.       Titik potong dengan sumbu X. Syaratnya f(x) = 0. Oleh karena itu,
       f(x) = 4log (x2 – 8x  +  16)
 0 = 4log (x2 – 8x  +  16)
 4log (x2 – 8x  +  16) = 4log 1
 x2 – 8x  +  16 = 1
 x2 – 8x  +  15 = 0
 (x – 5)(x – 3) = 0
 x = 5  atau  x = 3
Jadi, titik potongnya dengan sumbu X adalah  (5, 0) dan (3, 0).
b.      Titik potong dengan sumbu Y  syaratnya, x = 0. Oleh karena itu,
f(x) =  4log (x2 – 8x  +  16)
       =  4log (02 – 8(0) + 16)
       =  4log 16
       =  4log 42
          =  2
Jadi, titik potongnya dengan sumbu Y adalah (0, 2).

C. Grafik Fungsi Logaritma
      Untuk menggambar grafik fungsi logaritma, dapat dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
      Langkah 1 : Buatlah tabel yang menghubungkan x dengan y = f(x) = alog x,  yaitu dengan memilih beberapa nilai x sehingga y dapat ditentukan.
      Langkah 2 :   Gambarlah titik-titik (x, y) yang diperoleh dari langkah 1 pada bidang Cartesius, kemudian hubungkan titik-titik tersebut dengan kurva yang mulus sehingga diperoleh grafik fungsi logaritma.
            Dengan mengetahui bentuk grafik fungsi logaritma, kita dapat menentukan sifat-sifat fungsi logaritma tersebut.
      1.   Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis a > 1
  Contoh :
      1.   Gambarlah grafik fungsi y = f(x) = 2log x.
  Penyelesaian:
      Langkah 1 :
      Tabel fungsi  y = f(x) = 2log x adalah sebagai berikut.

Tabel 3
X
8
4
2
1
½
¼
f(x) = 2log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
      Langkah 2 :
      Grafiknya adalah sebagai berikut.
              y
                                                                     y = 2log x
            3                                                   
   
           0             2           4                        8                                      x
                         
                                    Gambar 1

2.      Gambarlah grafik fungsi  y = f(x) = 3log x.
  Penyelesaian:
      Tabel fungsi  y = f(x) = 3log x adalah sebagai berikut.
Tabel  4
X
9
3
1
1/3
1/9
1/27
f(x) = 3log x
2
1
0
-1
-2
-3


      Grafiknya adalah sebagai berikut.
           y
                                                                                                           y = 3log x
             1
            0      1          3                                           9                                  x
                             Gambar  2

            Dari Gambar 1 dan Gambar 2 tampak bahwa domain fungsi f(x) =  2log x dan fungsi  f(x) = 3log x  adalah himpunan bilangan real positif atau Df  = { x | x > 0,   x є R }, sedangkan range-nya adalah himpunan bilangan real.
            Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma           y = f(x) = alog x, dengan a > 1, merupakan fungsi naik karena untuk x1  x2 maka  alog x1  alog x2. [1]
2.      Grafik Fungsi Logaritma dengan Basis 0 < a < 1
Grafik fungsi logaritma dengan basis 0 < a < 1 dapat digambarkan dengan memilih beberapa nilai x sehingga nilai y = alog x dapat ditentukan. Kemudian, pasangan nilai tersebut digambar dalam diagram Cartesius dan dihubungkan dengan sebuah kurva mulus.
      Contoh :
      Gambarlah grafik fungsi logaritma  y = f(x) = ½log x.
     
      Penyelesaian:
      Buat tabel  f(x) = ½log x  terlebih dahulu.
Tabel 5
X
¼
½
1
2
4
8
f(x) = ½log x
3
2
1
0
-1
-2
-3
      Dengan melukis pasangan koordinat titik-titik yang diperoleh pada tabel, lalu menghubungkannya dengan sebuah kurva mulus, kita dapatkan grafik fungsi    f(x) = ½log x  seperti pada gambar berikut.
     y    

           0             2             4                               8                             x
            
             3                                              y = ½log x                                                                 Gambar 3
            Dengan memperhatikan contoh di atas, tampak bahwa fungsi logaritma       f(x) = alog x  dengan 0 < a < 1 adalah fungsi turun karena x1x2  maka            alog x1  alog x2. [2]
            Coba gambar grafik seperti contoh-contoh di atas, untuk fungsi
a.       f(x) = 3log x                     c.  f(x) = log x;              
b.      f(x) = 4log x                     d.  f(x) =¼log x.
c.       Pernahkah fungsi f(x) = alog x, untuk a > 1 merupakan fungsi turun? Dan pernahkah fungsi f(x) = alog x , untuk 0 < a < 1 menjadi fungsi naik?
3.      Grafik Fungsi  f(x) = alog x dan  g(x) = 1/alog x
Jika grafik y = f(x) = 2log x dan grafik fungsi y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat, gambar grafiknya adalah sebagai berikut.
          y


 

                3                                                                                                y = 2log x


 

               0       1        2                4                              8                                    x        
                                                                                                                                                                                                  

              -3
                                                                                                              y = ½log x

                                    Gambar 4



            Dari gambar 4, dapat dikatakan bahwa:
a.       Grafik fungsi logaritma f(x) = alog x dan g(x) = 1/alog x simetri terhadap sumbu X. Hal ini berarti bahwa fungsi g(x) =  1/alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik  f(x) = alog x terhadap sumbu X atau sebaliknya.
b.      Grafik fungsi  f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x melalui titik (1, 0).
c.       Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x selalu barada di sebelah kanan sumbu Y.
d.      Daerah asal kedua fungsi adalah himpunan bilangan real positif atau              D = (0, ∞) dan daerah hasilnya adalah R = (-∞, ∞).
e.       Fungsi  f(x) = alog x merupakan fungsi naik dan fungsi g(x) = 1/alog x merupakan fungsi turun.
f.        Grafik fungsi f(x) = alog x dan grafik fungsi g(x) = 1/alog x tidak pernah memotong sumbu Y, tetapi terus-menerus mendekatinya. Oleh karena itu, sumbu Y merupakan asimtot tegak bagi kedua grafik fungsi tersebut.[3]

4.      Grafik Fungsi f(x) = ax  dan g(x) = alog x
Jika grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x, serta grafik                     y = f(x) = (1/2)x  dan y = g(x) = ½log x digambarkan dalam satu bidang koordinat Cartesius, maka hasilnya adalah sebagai berikut. 
► Grafik fungsi y = f(x) = 2x  dan y = g(x) = 2log x
                                       Tabel 6
X
0
1
2
3
f(x) = 2x
1
2
4
8

              y

            
               8                       y = 2x                   
                                                                 y = x


               4                                         
                                                                                         y = 2log x


 

                2
              
                
               0                                                                                              x
                       1    2    3    4                      8


                                       Gambar 5
► Grafik fungsi  y = f(x) = (1/2)x  dan y = g(x) = ½log x
                                                Tabel 7

x
0
2
4
8
F(x) = (1/2)x
1
-1
-2
-3
                          y
     y = (1/2)x   
                                

                                                                            
                           8                                                      y = x




                           4


                           2
                           1
        -3     -2   -1        1     2           4                     8                            x           


 

                          -1
                          -2
                          -3

                                         Gambar 6                                        y = ½log x

            Dengan memperhatikan contoh di atas, kita mendapatkan beberapa hal menarik tentang grafik fungsi eksponen f(x) = ax  dan grafik fungsi logaritma  g(x) = alog x sebagai berikut.
a.       Grafik fungsi eksponen f(x) = ax dan grafik fungsi logaritma g(x) = alog x simetri terhadap garis y = x. hal ini berarti bahwa grafik fungsi g(x) = alog x dapat diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x) = ax terhadap garis y = x atau sebaliknya.
b.      Fungsi eksponen f(x) = ax merupakan fungsi invers dari fungsi logaritma    g(x) = alog x atau sebaliknya.

Soal-soal Latihan:
1.   Diketahui fungsi f(x) = 2log (x2). Tentukan rumus fungsi g jika:
      a. g(x) = f (x2)                               b. g(x) =  f(2x) – f(x2)
                                                         f(x) +  f(2/x)
2.   Untuk setiap x є R dan a konstanta, real, apakah pasti berlaku f(x) + f(a/x) = f(a)? Tunjukkan.
3.   Tentukan titik potong kurva fungsi-fungsi logaritma berikut dengan sumbu X dan sumbu Y.
      a. f(x) = 3log (x2 – 9x + 20)                        d.  f(x) = 7log (-16x2 + 17x – 5)
      b. f(x) = 4log (x2 – 3x  + 2)                        e.  f(x) = 6log (8x – 12x2)
      c. f(x) =  2log (2x2 + 10x + 12)                  f.   f(x) = 6log (2x2 + x)
4.   Gambarlah grafik fungsi berikut.
      a. f(x) = 5log x                                            d.  f(x) = 4log (3x – 5)
      b. f(x) = 4log  (-x)                                      e.  f(x) = 5log (x2 – 4)
      c. f(x) = 5log (-2x)
5.   Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat.
      a. f(x) = 3log x dan g(x) = log x
      b. f(x) = 4log x dan g(x) = ¼log x
      c. f(x) = 2log 3x dan g(x) = ½log 3x
      d. f(x) = 5log 2x dan g(x) = 1/5log 2x
6.   Gambarlah pasangan fungsi-fungsi berikut dalam satu bidang koordinat
      a. f(x) = 3x dan g(x) = 3log x
      b. f(x) = ()x dan g(x) = log x
      c. f(x) = 4x dan g(x) =  ¼log x
      d. f(x) = (¼)x dan g(x) =  ¼log x

1 komentar: